浙江奉化  焦永溢  2016.5.6

  關(guān)于地圖四色問題，本人已寫過多篇文章，于2007年5月21日發(fā)布在《少年百科》網(wǎng)站上的那篇《用減少法證明最大平面圖“四色問題”》已經(jīng)用非常簡(jiǎn)便的方法能夠完全證明最大平面地圖（即球面平面地圖）用四種顏色足夠。后來于2009年6月27日在《少年百科》網(wǎng)站上重新發(fā)了一篇《簡(jiǎn)單明了的“四色問題”證明》，就是把前一篇文章加以整理，并增加了若干的插圖，目的是為了使大家能夠更加看得清楚明了。這些圖中，圖5展示了中心一個(gè)點(diǎn)、被周圍共偶數(shù)個(gè)點(diǎn)包圍的情況下，怎樣去掉中心點(diǎn)，合并外圍的點(diǎn)，然后用右邊合并后的圖在整個(gè)圖中代替左邊的圖；而圖6展示了中心一個(gè)點(diǎn)、被周圍共奇數(shù)個(gè)點(diǎn)包圍的情況下，怎樣去掉中心點(diǎn)，合并外圍的點(diǎn)，然后用右邊合并后的圖在整個(gè)圖中代替左邊的圖。現(xiàn)在我再把這兩個(gè)圖拿來分析一下合并前后各個(gè)點(diǎn)度數(shù)（就是與該點(diǎn)相連的線條數(shù)）的變化。這里的圖1和圖2，分別用的是原來圖5和圖6下面的示意圖，為了分析方便，把各個(gè)點(diǎn)作了編號(hào)。下面就去掉偶度數(shù)中心點(diǎn)和奇度數(shù)中心點(diǎn)這兩種情況作如下分析；

   一、去掉偶度數(shù)的中心點(diǎn)（見圖1）

  合并前，中心點(diǎn)是偶度數(shù)的，周圍各點(diǎn)若不計(jì)對(duì)外相連的線數(shù)，圖中從1-12各點(diǎn)都是三度（與左、右、中心各有一條連線）。合并后，中心點(diǎn)去掉了，外圍的12并給了2，11并給了3，10并給了4，9并給了5，8并給了6。1和7點(diǎn)從合并前的三度（不計(jì)向外的連線，下同）減少到一度；而其它點(diǎn)都是兩個(gè)合并后只剩二度�？梢姏]與其它點(diǎn)合并的1和7點(diǎn)，在這合并處理后分別減少了二度；其它的二個(gè)點(diǎn)合并后的度數(shù)由原來的三度加三度減少到二度，減少了四度。

  二、去掉奇度數(shù)的中心點(diǎn)（見圖2）
  合并前，中心點(diǎn)是奇度數(shù)的，周圍各點(diǎn)若不計(jì)對(duì)外相連的線數(shù)，圖中從1-11各點(diǎn)都是三度。合并后，中心點(diǎn)去掉了，外圍的11并給了2，10并給了3，9并給了4，8并給了5，6和7相鄰不能合并。與前一種情況相似，1點(diǎn)從合并前的三度減少到一度，其它兩個(gè)點(diǎn)合并后只剩下二度，而合并后的5和8點(diǎn)卻剩下三度，6和7點(diǎn)分別還剩下二度�？梢�1點(diǎn)在合并處理后減少了二度；5與8點(diǎn)合并后的度數(shù)由原來的三加三減少到三度，減少了三度；6和7點(diǎn)分別只減少了一度。

  大家知道，在整個(gè)最大平面圖中，只要有三度及三度以上的奇度數(shù)點(diǎn)存在，就一定需要四種顏色（因?yàn)橥鈬�一圈就需要三種顏色了）。而偶度數(shù)的點(diǎn)，由于外圍一圈只要二種顏色，包括中心點(diǎn)只要用三種顏色就夠了；所以，只要保證圖上所有的點(diǎn)在上述合并過程中一直都是偶度數(shù)的，不會(huì)有奇度數(shù)的點(diǎn)出現(xiàn)，就能保證三種顏色就夠了。

  為了使全圖上所有點(diǎn)一直都是偶度數(shù)的，首先合并前就一定都要是偶度數(shù)；那么在合并的過程中這些點(diǎn)能不能一直保證都是偶度數(shù)呢？上面第一種情況的分析中，1和7點(diǎn)都是減少了二度，所以減少后的度數(shù)（包括與外連線的度數(shù)）還是偶數(shù)（偶數(shù)減二當(dāng)然還是偶數(shù)）；其它兩個(gè)點(diǎn)合并后的度數(shù)，是兩個(gè)點(diǎn)原來總度數(shù)（包括對(duì)外連線的度數(shù)）之和減少了四度，所以合并減少后的度數(shù)還是偶數(shù)（偶數(shù)加偶數(shù)減四當(dāng)然還是偶數(shù)）。

  綜上所述，我們?cè)谀玫饺魏螐?fù)雜的地圖時(shí)，只要看一下圖中有否三度及三度以上的奇度數(shù)點(diǎn)存在，有就可斷定這圖可用四色著色；若全是偶度數(shù)點(diǎn)，沒有奇度數(shù)點(diǎn)，就可斷定這圖用三色足夠了。這一判斷的方法，就如歐拉在“七橋問題”上得出的“看圖上奇度數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)就能斷定能否一筆畫出”的結(jié)論一樣的簡(jiǎn)單。

 注：此為作者投稿，本站未作審驗(yàn)。作者自2005年起就向本站投了關(guān)于四色問題的稿件，編輯對(duì)作者這十多年的執(zhí)著研究致以敬意。

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用減少法證明最大平面圖“四色問題” [焦永溢 2007-5-21]

徹底解決“四色問題” [焦永溢 2005-10-22]

關(guān)于“四色問題”的證明 [焦永溢 2005-1-4]